Методика використання візуальних моделей у навчанні школярів розв`язання математичних задач

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Випускна кваліфікаційна робота
Методика використання візуальних моделей у навчанні школярів розв'язання математичних задач
Виконав
студент V курсу фізико-математичного факультету
(Спеціальність 050201.65 Математика)
Слончук Артем Геннадійович
Науковий керівник:
канд. пед. наук, ст. преп. кафедри
дидактики фізики і математики
Горєв Павло Михайлович
Рецензент:
канд. пед. наук, доцент кафедри
дидактики фізики і математики
Крутіхін Марина Вікторівна
Робота допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___»__________ 2008 Заст. зав. Кафедрою М.В. Крутіхін
«___»__________ 2008 Декан факультету Є.В. Кантор
Кіров, 2008
Зміст
Введення
§ 1. Наочність як засіб розвитку школярів у процесі навчання математики
1.1. Поняття наочності та її роль в процесі навчання математики
1.2. Функції наочності в навчанні математики
1.3. Види наочності в навчанні математики
1.4. Роль наочності в математиці
1.5. Використання наочності в процесі навчання математики
§ 2. Методика навчання розв'язання математичних задач з використанням візуальних моделей
2.1. Методика побудови візуальних моделей при навчанні рішенню текстових задач
2.2. Методика використання візуальних моделей при навчанні рішення завдань на рух
2.3. Методика застосування візуальних моделей при навчанні рішенню завдань з параметрами
§ 3. Опис і аналіз результатів дослідно-експериментальної роботи
Висновок
Бібліографічний список

Введення
У процесі навчання математики завдання виконують різноманітні функції. Навчальні математичні завдання є ефективним і часто незамінним засобом засвоєння учнями понять і методів шкільного курсу математики, взагалі математичних теорій. Велика роль завдань у розвитку мислення і в математичному вихованні учнів, у формуванні в них умінь і навичок у практичних застосуваннях математики.
Як показує шкільна практика, результати ЄДІ, учні не досить добре вирішують завдання, іноді навіть не беруться за їхнє вирішення. Це пов'язано з тим, що учні погано володіють методами вирішення завдань.
Ефективним засобом навчання рішенню задач є метод візуалізації. Він допомагає знайти шлях вирішення, сприяє більш глибокому засвоєнню алгоритмів рішення, усвідомлення всіх зв'язків присутніх в задачі, допомагає побачити взаємозв'язок понять, що дозволяє на більш високому рівні оцінити їх роль і значення для задачі зокрема і відповідної теорії взагалі.
Але, як показує аналіз навчальної літератури, дана тема не досить глибоко висвітлена, що не дозволяє використовувати учням візуальні моделі як засіб вирішення завдань. Крім того, методична література теж не містить грунтовних відомостей у цій галузі. Як наслідок цього вчителя практично не використовують ці методи в процесі навчання.
Таїмо чином, актуальність роботи обумовлена:
· Необхідністю підвищення рівня знань школярів в області використання візуальних моделей для розв'язування математичних задач;
· Недостатньою розробленістю методичних посібників з даної теми;
· Недооцінкою вчителями ролі візуалізації в процесі навчання розв'язання математичних задач.
Гіпотеза дослідження полягає в тому, що систематичне і цілеспрямоване використання методів візуалізації в процесі навчання школярів математики сприяє усвідомленому вмінню вирішувати математичні завдання, підвищує рівень ефективності навчання, сприяє розвитку і підтримці інтересу до математики, а як і розвитку різних форм розумової діяльності.
Об'єкт дослідження - процес навчання математики в середній школі.
Предмет дослідження - використання методів візуалізації при навчанні школярів розв'язання математичних задач.
Метою роботи є виявлення можливостей застосування візуальних моделей при рішенні математичних задач і складання методичних рекомендацій щодо їх використання.
Досягнення мети роботи реалізується через систему завдань:
· Вивчити навчально-методичну та психолого-педагогічну літературу з теми дослідження;
· Перерахувати вимоги і сформулювати правила застосування наочних посібників при навчанні математики;
· Розглянути методику роботи з візуальними моделями при навчанні розв'язання математичних задач;
· Перевірити ефективність даної методики за допомогою досвідченого викладання.
Робота складається з вступу, трьох параграфів, висновків і бібліографічного списку (24 джерела). У першому параграфі розглянуто основні положення використання наочності в навчанні математики. У другому параграфі викладена методика використання візуальних моделей при вирішенні окремих класів задач. Третій параграф містить опис та аналіз досвідченого викладання, здійсненого на базі школи № 21 г . Кірова.

§ 1. Наочність як засіб розвитку школярів у процесі навчання математики

1.1. Поняття наочності та її роль в процесі навчання математики

Формування загального, абстрактного поняття є складним багатоступеневим процесом. Перш ніж поняття буде осмислене повною мірою свого абстрактного змісту, воно повинно пройти стадію сприйняття (інформація на рівні відчуттів), подання (ту стадію, на якій усвідомлюються лише деякі сторони досліджуваного об'єкта). Ось що говорить про зв'язок поняття і уявлення відомий радянський психолог С. Л. Рубінштейн: «Поняття та подання нерозривно зв'язані один з одним. Вони не тотожні, але між ними існує єдність; вони виключають одна одну як протилежності, оскільки подання образно-наочно, а поняття не наочно, подання - навіть спільне - пов'язано більш-менш безпосередньо з наочною одиничністю, відбиває явище в більш-менш безпосередній даності , а в понятті долається обмеженість явища і розкриваються його істотні сторони в їх взаємозв'язку »[19].
Таким чином, щоб сформувати поняття потрібно мати уявлення, яке в свою чергу має наочно-образну природу, і спирається на сприйняття.
Формування понять пріоритетне завдання навчання, тому що знання, без володіння поняттями, втрачають свою змістовність, а вміння і навички стають формальними. Психологічні механізми цього процесу такі, що навчання має спиратися на чуттєвий досвід або, кажучи педагогічними термінами, на наочність.
Історично склалося так, що необхідність звернення до візуальних образів була постульовано, як педагогічний принцип ще в XVII столітті. Вперше наочність як принцип навчання ввів у теорію і практику навчання Я. А. Коменський. Сформульоване їм «золоте правило» свідчить, що всі підлягає засвоєнню треба надати учням для попереднього сприйняття, якому підлягає все те, що сприймається органами чуття. Коменський вважав наочність джерелом накопичення знань. Його послідовник, Песталоцці, вважав наочність ще й засобом розвитку здібностей і духовних сил дитини. Він усвідомлював, що не всяка наочність служить джерелом знань і не всяка наочність сприяє розвитку. Російський педагог К. Д. Ушинський вказував, що наочність відповідає психологічним особливостям дітей, мислячих «формами, звуками, фарбами, відчуттями». Наочне навчання Ушинський визначав як «таке вчення, яке будується не на абстрактних уявленнях і словах, а на конкретних образах, безпосередньо сприйнятих дитиною».
До вивчення наочності та її ролі в процесі навчання та пізнання зверталися відомі дидакти, психологи, фахівці в області теорії і методики навчання математики, вчені-математики.
Так, наприклад, про роль наочності в математиці говорив найбільший математик Д. Гільберт: «У математиці зустрічаються дві тенденції: тенденція до абстракції - вона намагається виробити логічну точку зору на основі різного матеріалу і привести цей матеріал у систематичний зв'язок, інша тенденція - тенденція до наочності, яка на противагу цього прагнути до живого розуміння об'єктів і їх внутрішніх відносин ».
Видатний філософ і математик Г. В. Лейбніц говорив, що «наочність хороший засіб проти невизначеності слів».
Педагогіка запозичила ідеї відомих педагогів, мислителів та їхніх послідовників, тому пояснення вчителя зв'язувалися з необхідністю демонструвати предмет засвоєння, представлений в чуттєвій формі, у вигляді речі, картини тощо, за допомогою наочних посібників.
Поняття наочності з плином часу змінювалося, розвивалося і вдосконалювалося.
Спробу математично точно визначити наочність зробив В. Г. Болтянский [1]. Він стверджував, що наочність складається з двох основних властивостей: ізоморфізму й простоти, тобто може бути виражена такою формулою: наочність = ізоморфізм + простота (ізоморфізм - відповідність між об'єктами, що виражає тотожність їх структур). Тобто це правильне ізоморфне відображення істотних рис явища і простота сприйняття.
А. Н. Леонтьєв одним з перших у світовій педагогіці і психології поставив питання про те, що недостатньо діяти за допомогою наочних посібників на органи почуттів. Необхідні зустрічні, активні дії учнів. Тільки в цьому випадку, що впливають на органи почуттів наочні посібники трансформуються в психічні образи. Тобто сприймають не органи почуттів людини, а людина з допомогою своїх органів почуттів. У сучасному педагогічному словнику наочність визначається так: властивість, що виражає ступінь доступності і зрозумілості психічних образів об'єктів пізнання для пізнає суб'єкта; один з принципів навчання. [19]
Застосування наочності при навчанні математики має коріння в теорії пізнання і узгоджується з методикою математики. Умовно можна виділити три етапи пізнання: сприйняття, представлення і абстрактне мислення. Процес пізнання також умовно можна розбити на два ступені: чуттєву (сприйняття і уявлення) і логічну (перехід від подання до поняття з допомогою узагальнення і абстрагування). Чуттєва ступінь відповідає першому етапу шляху пізнання, і роль наочності на цьому етапі досить важлива. Наочність використовується для отримання знань про зовнішні властивості математичних об'єктів, про взаємозв'язок об'єктів, про їх схожість і відмінності. Роль наочності на третьому етапі пізнання полягає в тому, що вона дає можливість показати учням глибинні зв'язки між властивостями математичних об'єктів, створити правильний образ.
Роль і місце застосування наочних посібників у процесі навчання математики, а також мета їх використання на уроці залежить в першу чергу від змісту предмета і наявних в учнів знань. Школа повинна розвивати в учнів певне коло уявлень, повідомити їм необхідний запас знань і навичок, а також навчити застосовувати отримані знання на практиці. Необхідно створювати на уроках обстановку, в якій учні зацікавилися б математикою, викликати в учнів прагнення до вивчення математики. Використання наочності на уроках полегшує сприйняття і усвідомлення учнями навчального матеріалу, допомагає розвинути інтерес до математики, а також тісніше пов'язати теоретичні відомості з практикою. Метод наочного навчання математики відіграє значну роль у важкій боротьбі з формалізмом шкільних знань та їх відірваністю від життєвої практики.
Психологи вважають, що для того, щоб правильно підібрати і використовувати наочність на уроці необхідно визначити дії учнів по відношенню до засобів наочності, а також дії, які повинні будуть виконати учні, щоб опанувати матеріалом свідомо.
Таким чином, використання наочності дозволяє з різних сторін підходити до вивчення будь-якого питання, затримує, зосереджує увагу учнів (довільне і мимовільне), підвищує інтерес до досліджуваного предмета, полегшує засвоєння суті питання і привчає до узагальнення та додатком знань.
Тому при підготовці до уроку вчитель повинен ретельно продумати, які кошти наочності будуть використовуватися на уроці, а також методику їх використання. Також необхідно з'ясувати, на якому етапі уроку слід показати модель, таблицю, як учням оформити її в зошиті, не рекомендувати чи зробити саморобну модель на ту ж тему.
Спочатку поняття наочності відносилося лише до зорових сприйнять предмета чи явища. Потім воно виросло в поняття чуттєвого сприйняття взагалі (слух, зір, дотик). Пізніше до наочного методу навчання були віднесені спостереження, досвід і практичні додатки математики, а навчальні моделі, таблиці, картини, схеми і т.п. стали вважати наочними посібниками.
Отже, наочність - властивість, що виражає ступінь доступності і зрозумілості психічних образів об'єктів пізнання для пізнає суб'єкта; один з принципів навчання. У процесі створення образу сприйняття об'єкта поряд з відчуттям беруть участь пам'ять і мислення.
Образ сприйманого об'єкта є наочним тільки тоді, коли людина аналізує й осмислює об'єкт, співвідносить його з вже наявними у нього знаннями.
Наочний образ виникає не сам по собі, а в результаті активної пізнавальної діяльності людини. Образи уявлення істотно відрізняються від образів сприйняття. За змістом вони багатші образів сприйняття, але у різних людей вони різні за виразності, яскравості, стійкості, повноті.
Ступінь наочних образів уявлення може бути різною в залежності від індивідуальних особливостей людини, від рівня розвитку його пізнавальних здібностей, від його знань, а також від ступеня наочних вихідних образів сприйняття.
Існують також образи уяви - образи таких об'єктів, які людина ніколи безпосередньо не сприймав. Однак вони складені, сконструйовані із знайомих і зрозумілих йому елементів образів сприйняття і уявлення.
Завдяки образам уяви людина здатна спочатку уявити собі продукт своєї праці, і лише потім приступити до його створення, представити різні варіанти своїх дій.
Чуттєве пізнання дає людині первинну інформацію про об'єкти у вигляді їх наочних уявлень.
Мислення переробляє ці уявлення, виділяє істотні властивості і відносини між різними об'єктами і тим самим допомагає створювати більш узагальнені, більш глибокі за змістом психічні образи пізнаваних об'єктів.

1.2. Функції наочності в навчанні математики

Психологами встановлено, що наочність необхідна для забезпечення цілого ряду дидактичних функцій: прийняття учнями навчального завдання, мотивування її, «налаштування» учня на процес навчання, забезпечення школяреві загальної орієнтування для його майбутньої діяльності.
У методиці викладання математики виділяють наступні функції наочності.
1. Пізнавальна функція. Методичною метою реалізації цієї функції є формування пізнавального образу досліджуваного об'єкта. Це формування відбувається поступово від простого до складного, при цьому думку учня направляється за найкоротшим і найбільш доступним шляхам до цілісного сприйняття об'єкта. Цінність цієї функції полягає в наданні учням найкоротшого і доступного шляху осмислення досліджуваного матеріалу.
2. Функція управління діяльністю учня. При реалізації цієї функції засоби і прийоми наочності беруть участь в наступних діях:
а) орієнтовних. Наприклад, побудова креслення, відповідного розглядався умові, або внесення в даний креслення додаткових елементів;
б) контролюючих, які спрямовані на виявлення помилок при порівнянні креслення (схеми, графіка), виконаного учням, з поміщеними в підручнику, або у з'ясуванні властивостей, які повинен зберегти об'єкт при тих чи інших перетвореннях;
в) комунікаційних, які відповідають тій стадії реалізації функції управління діяльністю учня, яка відповідає дослідженню отриманих ним результатів. Виконуючи ці дії, учень з власного досвіду пояснює іншим або самому собі суть досліджуваного явища або факту по побудованій моделі.
3. Інтерпретаційна функція. Суть цієї функції полягає в тому, що один і той самий об'єкт можна виразити за допомогою різних знаків і моделей. Наприклад, окружність можна задати за допомогою пари (центр і радіус), рівнянням відносно осей координат, за допомогою малюнка чи креслення.
Однак в одних випадках зручно скористатися її аналітичним виразом, в інших - геометричною моделлю. Розгляд кожної з цих моделей, яка в певних умовах може служити засобом наочності, є її інтерпретацією. Чим значущою об'єкт, тим желательней дати більшу кількість інтерпретацій, які розкривають пізнавальний образ з різних сторін.

4. Естетична функція. Естетика - краса. Вона може бути осягається органами почуттів, тобто формальна краса, і інтелектуальна, доступна тільки розуму. У математичному доказі повинні бути відповідні логічна і наочна частини. Так, завдяки простій наочної моделі, стає зрозумілою суть докази, а логіка уточнює лише деякі деталі докази.
Для будь-якого математичного об'єкту існує можливість його «візуалізації», тобто створення його наочного образу. Красиві формули, задачі, графіки функцій, багатокутники і т. п. є об'єктами з естетичними властивостями в зовнішньому вигляді.
Різні малюнки, креслення, схеми, таблиці є естетичними об'єктами. Вони відображають логіку процесів, тому поглиблюють пізнання, сприяють розкриттю внутрішньої краси математики.
До методичних функцій наочності можна віднести також функцію забезпечення цілеспрямованого уваги учня, функцію запам'ятовування при повторенні учнями навчального матеріалу, функцію використання прикладної спрямованості та ін
А. Н. Леонтьєв виділяє також психологічну функцію, включену в процес навчання з використанням наочності. Вона полягає в тому, що наочний матеріал (допомоги) служить як би зовнішньою опорою внутрішніх дій, які здійснює дитина під керівництвом вчителя в процесі оволодіння знаннями.
Реалізуючи різні функції наочності, можна сприяти розвитку найбільш плідної мислення учня, так як його увага легко і своєчасно переключається зі засобів наочності на отриману з їх допомогою інформацію про об'єкт і назад. Таке переключення зводить до мінімуму відволікання розумових зусиль учнів від предмета їх діяльності.

1.3. Види наочності в навчанні математики

Розуміння ролі і значення кожного виду наочності на кожному етапі навчання необхідно для розробки оптимальної методики. Існує кілька принципів, за якими класифікуються види наочності. У даному випадку види наочності класифікуються за градації прийомів діяльності, що відбивають способи моделювання окремого математичного знання або організованого набору знань [8].
Операційна наочність - процес формування моделі у навчальній діяльності, що базується на опорних зовнішніх діях. До операційної наочності відносять демонстраційну наочність (використання креслень, схем, таблиць, плакатів, графіків, моделей), застосування оперативної наочності розширює число каналів передачі та отримання інформації, прискорюючи і поглиблюючи сприйняття досліджуваного матеріалу. Застосування оперативної наочності може служити мотивацією творчої діяльності учня, дозволяє побачити процеси в динаміці, сприяє встановленню міжпредметних зв'язків, розширює область практичного застосування досліджуваних питань.
Формалізована наочність - процес формування моделі у навчальній діяльності, що базується на структурних зовнішніх діях, процес формування «зовнішньої» структури, структури позначення, виділення або розміщення тексту на дошці або в навчальному посібнику. До цього виду наочності належить: використання при записі курсиву, рамок, абзаців, виділення окремих формул в рядок, підкреслення важливих слів і пропозицій, позначення значимості тексту на полях різними знаками, позначення початку і кінця докази, використання кольору для виділення важливих формул, елементів. Цей вид наочності сприяє кращому сприйняттю, осмисленню і запам'ятовуванню матеріалу.
Структурна наочність - процес формування моделі навчальної діяльності, що базується на структурних зовнішніх діях, процес формування «внутрішньої структури». До цього виду наочності належить виділення основного матеріалу, побудова моделі з опорою на стійкі асоціації, які характеризуються повнотою викладу основних понять, методів теорем, доведення досліджуваного матеріалу до впізнаваності об'єкта сприйняття. Прикладом використання структурної наочності служить виділення в процесі сприйняття навчального матеріалу опорних якостей предмета, складання опорної таблиці, використання блок-схем, логічний аналіз теорем. Структурна наочність активізує розумову діяльність у процесі сприйняття, вчить логічно мислити, виділяє істотне в плані перцепції. Розташування досліджуваних об'єктів у певній системі покращує сприйняття, викликаючи мінімальні зусилля з боку органів почуттів.
Фонова наочність - процес моделювання специфічних особливостей даного організованого набору знань, що носить мотиваційний наскрізний характер, що забезпечує краще сприйняття і засвоєння. Фонова наочність характеризується тривалістю, неодномірність, опорно асоціативно-рефлекторних функцій сприйняття, «ненав'язливість» побічно застосовуваних дій. Прикладом застосування цього виду наочності можуть служити прийоми створення фону настрою, створення зниженого фону інтенсивності навколо опорної інформації, залучення історичного матеріалу, застосування різних мнемонічних ефектів. Цільова установка, мотивація, зовнішнє ненав'язливе спонукання вчителя до внутрішніх дії учня, адекватним поставленої мети - складові компоненти фонової наочності. Фонова наочність має велике значення в процесі навчання і виховання. Від вмілого використання її залежить виникнення в учнів потреби вчитися, самостійно здобувати знання, емоційне задоволення від навчання, виховання волі культури поведінки [10].
Дистрибутивна наочність характеризується структурними зовнішніми діями при вивченні сформованої моделі в процесі навчальної діяльності. До цього виду належить структура розміщення матеріалу, виділення базових визначень, порцій матеріалу, класифікацію методів доказу. Використання цього виду наочності дозволяє розставляти акценти на досліджуваному матеріалі, робить його доступним для сприйняття та засвоєння, вчить логічно мислити, аналізувати, виділяти головне і встановлювати зв'язки між досліджуваними поняттями, вміти орієнтуватися у великому обсязі інформації, виховує критичне ставлення, вчить бути зібраним.
Наочність наступності характеризується опірність асоціативних зв'язків усередині розділу, предмета і міжпредметних. Сюди належить структура взаємозв'язків, методи викладу, пропедевтика, опорні мотиваційні історичні завдання, цикли завдань дослідницького характеру.

1.4. Роль наочності в математиці

Застосування різних засобів наочності активізує учнів, збуджує їхню увагу і тим самим допомагає їх розвитку, сприяє більш міцному засвоєнню матеріалу, дає можливість економити час. Той факт, що математики властива велика абстрактність, визначає і характер засобів наочності, і особливості застосування їх. У таких навчальних предметах, як природознавство, історія, географія, наочні посібники найчастіше використовуються для показу досліджуваних об'єктів. Щоб учні могли скласти найбільш правильне, найбільш повне уявлення про тваринний або рослині, про ту чи іншу подію, про природне явище і т.п., все це необхідно показати в можливо більш природному вигляді і так, щоб добре були помітні всі потрібні деталі. Що стосується математики, то тут предмети, по-перше, виступають тільки як елементи множин, над якими можуть здійснюватися деякі операції і щодо яких може бути поставлене питання про їх чисельності [4, 10, 22]. Тому, коли вчитель говорить про яблука на гілці, або про пташок на дереві, то він не зупиняється на тому, які це яблука чи пташки. Він звертає увагу дітей лише на кількості їх і на кількісні відношення. По-друге, коли йдеться про той чи інший предмет, то може бути поставлено питання про дослідження його форми або деяких числових характеристик, що носять назви величин. Але щоб дослідити кількісні відносини і форми в чистому вигляді, необхідно абсолютно відокремити їх від змісту. У цьому і надають допомогу вчителю різні засоби наочності і в першу чергу моделі, креслення, схеми, які найбільше відповідають зазначеному вимогу [5].

1.5. Використання наочності в процесі навчання математики

Допомагаючи дітям у пошуках рішення задачі, потрібно зробити схематичний малюнок або креслення до задачі; пояснюючи прийом обчислення, супроводжуючи пояснення діями з предметами і відповідними записами і т. д. При цьому важливо використовувати наочний посібник своєчасно, ілюструючи саму суть пояснення, залучаючи до роботи з посібником і пояснення самих учнів. При розкритті прийому обчислення, вимірювання, вирішенні завдання і т. д. треба особливо чітко показувати рух (додати-присунути, відняти-прибрати, відсунути) [4, 10]. Супровід пояснення малюнком (кресленням) і математичними записами на дошці не тільки полегшує дітям сприйняття матеріалу, а й одночасно показує зразок виконання роботи в зошитах [4]. Наприклад: як розташувати креслення і запис рішення в зошиті, як позначити периметр за допомогою літер і т. п. При ознайомленні з новим матеріалом і, особливо, при закріпленні знань і умінь треба так організувати роботу з наочними посібниками, щоб учні самі оперували ними і супроводжували дії відповідними поясненнями. Якість засвоєння матеріалу в більшості випадків значно підвищується, так як в роботу включаються різні аналізатори (зорові, рухові, мовні, слухові). При цьому діти опановують не тільки математичними знаннями, а й набувають уміння самостійно використовувати наочні посібники. Учитель повинен всіляко заохочувати дітей до використання наочних засобів, до самостійної роботи. Важливою умовою ефективності використання наочних посібників є застосування на уроці достатнього і необхідної кількості наочного матеріалу. Якщо наочні засоби застосовувати там, де цього зовсім не потрібно, то вони грають негативну роль, відводячи дітей у бік від поставленого завдання. Наочність, використана в цьому випадку, не тільки не допомагає, але навпаки, затримує формування уміння розв'язувати задачі, тобто вибирати дію над числами, даними в умові.
Центральним у методиці навчання розв'язуванню задач є питання про те, як навчати дітей рішенню текстовій завдання. Спостереження за школярами нерідко показують, що багато хто з них не тільки не хочуть розв'язувати текстові задачі, але і не вміють. Досягти такого вміння можна, зокрема, за допомогою візуалізації завдання.
У сучасній школі, безсумнівно, присутні різноманітні прийоми, що сприяють розвитку навичок вирішення текстових завдань, але завдань на побудову допоміжних моделей мало. У багатьох підручниках переважають моделі у вигляді короткої запису і малюнка завдання, менше моделей у вигляді креслення і відповідно мало завдань на їх порівняння.
Для розкриття сутності візуалізації розглянемо спочатку поняття «модель». Слово «модель» у перекладі з французької означає «зразок». За видами засобів, використовуваних для побудови, всі моделі можна розділити на схематизовані та знакові. Схематизовані моделі, у свою чергу, діляться на речові (предметні) і графічні, в залежності від того, яку дію вони забезпечують. До знакових моделями, виконаним на природній мові, можна віднести коротку запис текстовій завдання, таблиці. Знаковими моделями текстових завдань, виконаними на математичній мові, є: формула, вираз, рівняння, система рівнянь, запис вирішення завдання по діях.
Візуалізація текстовій завдання - це використання моделей (засобів наочності) для знаходження значень величин, що входять у завдання, даних і шуканих чисел, а також для встановлення зв'язків між ними.
Методика навчання моделювання текстових завдань включає наступні етапи:
1) підготовча робота до моделювання текстових завдань;
2) навчання моделюванню текстових завдань;
3) закріплення вміння розв'язувати задачі за допомогою моделювання.
Підготовча робота повинна бути спрямована на виконання предметних дій. Відображаючи ці дії графічно, спочатку у вигляді малюнка, потім у вигляді моделі, учні в подальшому підходять до знаково-символічній формі: рівності, формулі, рівнянню і т. д. Перш ніж представити завдання у вигляді моделі, необхідно ознайомитися з її змістом. При вирішенні текстової завдання вчитель часто стикається з проблемою тексту в математиці. Проблема в тому, що його потрібно «перевести» з російської на математичну мову і навпаки [11, 20]. У цьому випадку необхідно виявлення «математичного ядра» завдання. Для цього потрібно виділити величини і відносини між ними, які укладені, як кажуть діти, в «головних» словах і числах (буквах) ». Можна з учнями домовитися підкреслювати слова олівцем в книзі і кольоровою крейдою на дошці. Питання завдання завжди виділяємо особливо - це мета наших дій. Наведемо приклад.
У Маші було 9 цукерок. Вона віддала 3 цукерки Толіку і 2 цукерки Максиму, а 2 цукерки з'їла сама. Скільки цукерок залишилося у Маші.
Таким чином, виключення частини слів не вплинуло на математичну модель задачі, тобто учні абсолютно безболісно зможуть зрозуміти, а, отже, вирішити це завдання.
Після ознайомлення зі змістом задачі потрібно приступити до її моделювання [12]. Особливістю предметного моделювання простих текстових задач є використання предметів, що заміщають зразок. Це можуть бути смужки паперу, геометричні фігури і так далі. Особливості графічного моделювання простих текстових задач у тому, що вони будуються як окремі випадки відносини величин: величини в задачі перебувають у відношенні цілого (С) і частин (А і В), що наочно показується у схемі:

З

А B
Моделювання у вигляді схеми доцільно використовувати при вирішенні завдань, в яких надані відношення значень величин («більше», «менше», «стільки ж»). Завдання, пов'язані з рухом, доцільніше моделювати за допомогою креслення, діаграми або графіка [2].
Поряд зі схематичним моделюванням, починаючи з 1 класу, використовується і знакова моделювання - це короткий запис задачі [18]. У короткій запису фіксуються величини, числа - дані і шукані, а також деякі слова, що дають, про що йдеться в задачі: «було», «поклали», «стало» і т. п. Стислий запис завдання можна виконувати в таблиці і без неї.
При табличній формі потрібно виділення і назва величини. Розташування числових даних допомагає встановленню зв'язків між величинами: на одному рядку, одне під іншим. Шукане число позначається знаком питання [2].
Закріпленню навичок моделювання текстових завдань допомагають вправи творчого характеру. До них відносяться моделювання задач підвищеної складності, завдань з відсутніми і зайвими даними, а так само вправи в складанні і перетворенні завдань за даними моделями [15].
1. Робота з незакінченими моделями:
а) доповнення числових даних і питання запропонованої моделі;
б) доповнення будь-якої частини моделі.
2.Ісправленіе спеціально допущених помилок в моделі.
3.Составление умови завдання з цієї моделі.
4.Составленіе завдань за аналогією.
Отже, в даній роботі, для використання візуальних моделей при вирішенні завдань, застосовується методика, яка містить три вищезгадані етапи. Перший етап даної методики передбачає виділення понять, що використовуються для складання моделі, і відносин між ними. Його мета полягає у розкритті сенсу цих понять та формування навичок роботи з цими поняттями. Другий етап передбачає застосування виділених понять для побудови візуальних моделей, навчання правилам цієї побудови. Результатом даного етапу є вміння складати модель по завданню і інтерпретувати цю модель, тобто спираючись на візуальну модель переходити до математичної моделі і формулювати з умов еквівалентні твердження, зручні для подальшої роботи. Третій етап передбачає закріплення отриманих навичок. Роль і значення зазначених етапів може змінюватись в залежності від конкретного методу візуалізації. Наприклад, перший етап може бути відсутнім в разі володіння учнями засобами моделювання. Важливо тільки, щоб всякий раз були в наявності результати кожного етапу в зазначеній послідовності.

§ 2. Методика навчання розв'язання математичних задач з використанням візуальних моделей

2.1. Методика побудови візуальних моделей при навчанні рішенню текстових задач

У цьому параграфі розглянемо методи візуалізації тестових завдань. В якості методів візуалізації розглянемо використання лінійних і двовимірних діаграм, а так само застосування графіків лінійної функції. Дані методи візуалізації засновані на геометричних властивості фігур (прямокутників, трикутників, відрізків) і властивості операцій над ними. При вирішенні задач з використанням цього виду візуалізації виділяють наступні три етапи: побудова візуальної моделі, тобто переклад завдання на геометричний мову, рішення вийшла геометричній завдання, переклад завдання з геометричного мови на природний. Для навчання побудові та роботи з візуальними моделями використовується зазначена вище трьохетапна методика, роль і значення етапів якої варіюється в залежності від складності конкретного способу візуалізації. Завдання в цьому параграфі виділяються не за змістом сюжету, а по відповідності того методу візуалізації, який до них застосуємо.
Лінійні діаграми використовуються переважно в тих завданнях, в яких шукане знаходиться в залежності від даних, виразність за допомогою арифметичних операцій додавання (віднімання) і множення (ділення). У курсі алгебри представлені два основних види завдань (текстових), що вирішуються за допомогою лінійних діаграм: 1) завдання, в яких надані відношення значень величин і відображена одна ситуація в даний момент часу; 2) завдання, в яких надані відношення значень величин і відображені два ситуації - початкова і кінцева. При вирішенні завдань першого виду лінійна діаграма виступає в якості статичної геометричної моделі, тобто в процесі виконання завдання вона не змінюється і виконує тільки ілюстративну функцію. Найбільший інтерес з точки зору використання лінійних діаграм в курсі алгебри представляють завдання другого виду. Побудова лінійної діаграми при вирішенні цих задач проходить в два етапи: спочатку створюється діаграма, що відображає початкове (кінцеве) стан об'єктів, а потім згідно з умовою вона змінюється таким чином, щоб знову отримане зображення (діаграма) відбивала кінцеве (початкове) стан об'єктів. Зміна побудованої діаграми здійснюється шляхом дій над відрізками (додавання і множення на число) [9].
Так як роль першого етапу методики навчання роботі з візуальними моделями полягає в тому, щоб виділити основні поняття та об'єкти, що беруть участь у побудові моделі, то, в даному випадку необхідність у ньому відпадає. Пов'язано це з тим, що для побудови і роботи з лінійними діаграмами використовуються відрізки та операції з ними, що вивчається протягом усього шкільного курсу математики.
Другий і третій етапи не потрібно явно відокремлювати один від одного: навчання моделюванню відбувається безпосередньо в процесі вирішення завдань, але на початку потрібно провести методичну роботу для формування умінь побудови візуальної моделі. Ця робота полягає в акцентуванні уваги на істотні сторони у побудові візуальної моделі, яка відображає суть завдання. А саме, розглянути випадки, в яких довжина відрізка може вибиратися довільно, і випадки коли довжина відрізка залежить від якихось умов. Необхідно також провести різницю між завданнями першого і другого виду. Для завдань другого виду показати, що ми йдемо від одного стану до іншого, при цьому за допомогою арифметичних операцій над відрізками, що задовольняють умову, отримуємо з первісної діаграми іншу, яка ілюструє такий стан. Наведемо приклад.
Завдання 1. На одному овочесховище було втричі більше картоплі, ніж на іншому. З першого вивезли 450 кг картоплі, а на друге привезли 120 кг картоплі, після чого на обох овочесховищах картоплі стало порівну. Скільки кілограм картоплі було на кожному овочесховище спочатку?
Як було зазначено вище рішення задачі при використанні діаграм, здійснюється в три етапи.
Перший етап. Після прочитання завдання учні відповідають на питання:
1. Скільки ситуацій розглядається в задачі? (Дві: первинна і кінцева).
2. З якій ситуації слід почати побудову лінійної діаграми? (Можна почати з першої ситуації і перейти від неї до другої, а можна спочатку побудувати діаграму кінцевої ситуації і перейти від неї до первинної. Розглянемо перший варіант).
3. Що буде являти собою первісна діаграма? (Два відрізка, один з яких втричі більше іншого). Після цього учні будують первісну діаграму, далі міркування тривають.
4. Як перейти на діаграмі від першої ситуації до другої? (Треба з першого відрізка відняти другий умовно зображає 450 кг , А до другого додати відрізок зображає 120 кг ).
5.

Довільно чи беруться відрізки зображують 120 і 450 кілограм ? (Ні, слід враховувати, що знову отримані відрізки повинні бути рівні, так як на обох сховищах картоплі стало порівну).

450кг

120кг

Рис.1

Виконавши дії з відрізками, учні отримують діаграму кінцевої ситуації. Перший етап роботи над завданням закінчується позначенням відрізків і оформленням записів на кресленні (рис.1).
Другий етап. Побудована лінійна діаграма перетворює алгебраїчну задачу в геометричну, рішення якої базується на використанні властивостей довжини відрізка. Відповідь можна отримати арифметично, не складаючи рівняння, іноді його можна «побачити» на кресленні. За допомогою діаграми можна складати різні рівняння до задачі, тобто вирішувати її різними способами.
Третій етап. Переклад з геометричного мови на природний здійснюється автоматично, в результаті перенесення термінології. На початку слід зробити докладний запис із зазначенням того, що означає кожен відрізок. Поступово можна переходити до короткої запису, так як деякі факти видно на кресленні.
На мотиваційному етапі формування геометричного методу заснованого на використанні лінійних діаграм доцільно пропонувати вирішити завдання двома методами: алгебраїчним і геометричним. При цьому слід підбирати завдання таким чином, щоб її рішення за допомогою лінійної діаграми було більш раціональним в порівнянні з рішенням без креслення.
Далі слід розглянути клас задач, для яких застосуємо даний метод візуалізації. При цьому сюжети завдань повинні бути різними, для того щоб цей метод не асоціювався з якимсь певним видом сюжетних завдань. При цьому складність завдань, складність побудови моделі повинна підвищуватися. Потрібно також вказувати на моделі різних сюжетних завдань, у разі якщо вони подібні, так як це формує уявлення про універсальність даного методу, і взагалі про моделювання як загального математичного методу [12, 21].
Даний метод візуалізації застосуємо для відносно простих завдань, тим не менш, його значимість досить висока. Він збагачує арсенал засобів, якими може користуватися учень при вирішенні завдань, а завдання, у яких даний метод можна застосовувати, досить часто виникають як підзадачі на етапі аналізу при вирішенні більш складних завдань. Часто такі завдання бувають на всіляких математичних турнірах, де потрібно їх вирішити за мінімальний час. Наприклад: «Цегла важить 2 кг і ще пів цеглини. Скільки важить цеглина? »Або« "Те" так "це", та половина "того" так "цього" - скільки це буде відсотків від трьох чвертей "того" так "цього"? ». Даний метод може надати в подібному випадку, суттєву допомогу. Крім того, даний метод є ефективним засобом як при навчанні рішення завдань на відсотки, так і при навчанні поняттю відсотка як частини від цілого.
Лінійні діаграми можуть використовуватися на різних етапах виконання завдання. При аналізі тексту вона допомагає учням краще зрозуміти зміст завдання, що розглядаються в ній відносини, шукаючи спосіб рішення - скласти рівняння або арифметичне вираз. На етапі аналізу рішення завдання можна знайти інше (іноді більш раціональне) рішення. Воно може використовуватися для перевірки відповіді, отриманого алгебраїчним способом.
У завданнях, де одна з величин, що розглядаються є добутком двох інших, можна для наочності представити такий твір у вигляді площі прямокутника, тобто у вигляді двовимірної діаграми. Двовимірна діаграма може складатися з одного або декількох прямокутників.
Підготовча робота до моделювання текстових завдань у даному випадку, як і при використанні лінійних діаграм не потрібно, оскільки використовувані об'єкти і методи роботи з ними учням досить добре відомі і не представляють особливої складності.
Другий етап в методиці навчання використанню двовимірних діаграм можна реалізувати, спираючись на лінійні діаграми. Краще всього перейти до моделювання тих завдань, які попередньо вирішені алгебраїчним методом. Це пов'язано з тим, що учні знають структуру задачі, встановлені зв'язки між даними і потрібним, що робить побудову моделі більш природним. Крім того, такий підхід дозволяє порівняти два способи вирішення завдання.
Перед побудовою геометричної моделі, потрібно встановити зв'язок геометричних представленні в вигляді двовимірних діаграм з геометричними уявленнями у вигляді лінійних діаграм. Для цього, необхідно зауважити учням, що у разі використання лінійних діаграм відрізками зображувалися значення однієї і тієї ж величини. Ці відрізки розташовувалися на паралельних прямих. У завданнях, де розглядається твір двох величин, відрізками будемо зображати значення двох різних величин і відрізки будемо розташовувати на двох перпендикулярних прямих так, щоб вони були суміжними сторонами прямокутника. Тоді площа прямокутника буде відповідати твору цих величин, а отримане зображення будемо називати двовимірної діаграмою. Наведемо приклад.
Завдання 2. Моторний човен, швидкість якої в стоячій воді 15 км / год , Пройшла за течією річки 35 км і проти течії 25 км . На шлях за течією річки вона затратила стільки ж часу як на шлях проти течії. Яка швидкість течії річки.
Алгебраїчний метод призводить до рівняння:

,
де

- Швидкість річки. Розв'язавши рівняння, знаходимо

.
Розглянемо геометричний метод. Так як в даній задачі розглядається рівномірний рух, то пройдений човном шлях можна представити у вигляді добутку швидкості і часу руху.

15 + x

15-x

Рис. 2

Нехай сторона АВ прямокутника АВС D зображує швидкість човна за течією річки (рис. 2). Тоді AD зображатиме час руху човна за течією річки. Якщо позначити через

швидкість течії річки, а через

- Час руху човна за течією річки, то

.
Площа прямокутника АВС D (S ₁₎ буде відповідати шляху пройденого човном за течією річки:

.
Далі слід надати учням самим побудувати двовимірну діаграму руху човна проти течії річки. Необхідно акцентувати їх увагу на наступних моментах: прямокутники потрібно зображувати разом, щоб вони складали одну фігуру, причому висоти цих прямокутників повинні бути рівні, так як човен рухалася однаковий час за течією і проти течії річки, доцільніше висоту прямокутників, що зображає час, зробити загальної, тоді отримуємо фігуру у вигляді прямокутника, площа якого легко знайти.
Далі продовжуємо рішення. Нехай відрізок BE зображує швидкість човна проти течії річки (BE беремо менше АВ), тоді відрізок EF зображає час руху човна проти течії річки:

.
Площа прямокутника BEFC відповідає шляху пройденого протии течії річки:

. Площа прямокутника ABFC визначає весь шлях пройдений човном:

.
У той же час,

, Тоді маємо: 60 = 30

, 35:2 = 17,5 - швидкість руху човна за течією, 17,5 - 15 = 2,5 - швидкість течії річки.
Використання двовимірних діаграм в курсі алгебри спирається на наступну теорему: якщо через довільну точку E діагоналі AC прямокутника ABCD проведено прямі FM і HK паралельні відповідно AB і AD, що утворилися при цьому прямокутники HBME і FEKD будуть рівновеликі, прямокутники ABMF і AHKD теж рівновеликі, крім того відрізки FH, DB і KM паралельні.
Наведемо приклад розв'язання задачі з використанням даної теореми.
Завдання 3. Один складач працював над виконанням замовлення 9 годин. Після чого закінчити роботу було доручено другій складачу, який закінчив роботу за 4 години 48 хвилин. Якби обидві складача працювали разом, то вони виконали б роботу за 6 годин 40 хвилин. За скільки часу кожен виконав би роботу, працюючи окремо?

Mmm

A ₁

Підготовчий етап у навчанні даного методу передбачає актуалізацію знань з побудови графіків функцій зазначеними вище способами і підведенню до використання даних способів на випадок параметра. Учні повинні виконати завдання з побудовою функцій за допомогою зазначених перетворень, а так само завдання перетворити графічно задану функцію f (x) на випадок f (ax), f (x a), f (ax ), Де a і b конкретні числа. Корисно розглянути одну і ту ж функцію для різних числових значень, так як отриманий результат можна буде узагальнити.
Етап навчання моделюванню можна реалізувати, спираючись на розібраний метод «обертається пряма», посилаючись на те, що метод побудови графічної моделі параметричного рівняння y = а x лише окремий випадок, що спирається на розглянуті раніше прийоми побудови графіків, для лінійної функції. Якщо ми маємо функції виду f (ax), f (x a), f (ax ), Де a і b параметри, то графічною моделлю буде багато графіків, які утворюються їх графіка функції y = f (x) за допомогою відповідних перетворень. На даному етапі потрібно привести серію завдань, що обіграють різні ситуації з побудови зазначених вище графічних моделей функцій з параметром.

SHAPE \ * MERGEFORMAT

Рис. 11

Побудуйте в системі координат графічні моделі, що задаються наступними умовами:

;

.
Після виконання даної системи завдань, потрібно перейти безпосередньо до застосування графічних моделей для вирішення завдань з параметрами. Так само як і в попередніх методах, почавши з простих завдань.
Знайдіть значення параметра, при кожному з яких має хоча б одне негативне рішення нерівність

.
Дане нерівність можна вирішити, застосувавши метод «невідоме-параметр», але для того, щоб висловити

через

, Потрібно розкрити модуль і розглянути два випадки. Скористаємося іншим способом. Перепишемо вихідне нерівність у вигляді

. Графіком лівій частині є парабола з вершиною в точці (0; 3), гілки якої спрямовані вниз. Графіком правій частині є «прямий кут», вершина якого має координати (0; а). У залежності від значень параметра а цей «кут» переміщається уздовж осі абсцис (рис. 11). Початкове нерівність має негативне рішення, якщо знайдеться таке від'ємне значення змінної x, для якої відповідна точка параболи розташована вище крапки на «вугіллі». Таких точок немає якщо вершина «кута» виявилася правіше точки з абсцисою 3 або лівіше точки з абсцисою

(Точки обчислюються аналітично).
Після розбору серії відносно простих завдань треба перейти до більш складним, при цьому потрібно підібрати деякі завдання таким чином, щоб їх можна було вирішити іншим методом, причому використання цього методу має в деяких випадках давати більш раціональне рішення. Це буде сприяти усвідомленому вибору методів вирішення, змусить учня розмірковувати на всіх етапах виконання завдання, посприяє більш глибокому усвідомленню методів.
Даний метод дозволяє вирішити більш широкий клас задач з параметрами, ніж наведені вище методи. Тому і робота по закріпленню умінь будувати і працювати з графічними моделями тут буде більш широкою.
Всі викладені вище методи припускають в учнів наявність умінь досліджувати функції: визначати монотонність, парність, обмеженість, проміжки знакопостоянства, знаходити екстремуми. Рішення задач з параметрами графічними методами зводиться в основному до застосування одного з вищенаведених або до застосування комбінації з даних методів, де окремий метод застосовується для розв'язання виникаючої підзадачі. Володіння даними методами і вміння їх раціонально застосовувати багато в чому визначають успішність виконання завдання. Навіть якщо зазначені методи не дають очікуваного результату, візуальна модель допоможе глибше усвідомити і зрозуміти завдання і може підказати шлях вирішення.

§ 3. Опис і аналіз результатів дослідно-експериментальної роботи
Дослідне викладання проводилося в у 8-б класі школи № 21 г . Кірова. Було проведено 5 уроків на тему «Рішення задач на рівномірний прямолінійний рух з використанням графічних моделей».
На першому уроці були розглянуті наступні питання: значення коефіцієнтів для графіків лінійної функції, зв'язок між лінійною функцією і рівномірним рухом, методи завдання за допомогою лінійної функції рівномірного руху, методи побудови графічних моделей задач на рух.
Головним завданням у вивченні першого питання була актуалізація знань про лінійної функції для подальшої інтерпретації їх у термінах рівномірного прямолінійного руху. Коефіцієнт при вільної змінної лінійної функції є тангенсом кута нахилу графіка функції до позитивного напрямку осі абсцис, але учні 8-го класу не володіють функціональним визначенням тангенса. Тим не менш, було розглянуто геометричний зміст даного коефіцієнта для того визначення, яким володіють учні, з урахуванням можливої заперечності коефіцієнта. Так само було розглянуто геометричний сенс вільного члена та встановлено, що його зміни відповідає паралельний перенесення графіка на вектор дорівнює різниці початкового і кінцевого значення вільного члена. Можна було відразу розкрити зв'язок лінійної функції та рівномірного руху, але так як весь метод в цілому припускає перехід до геометричної моделі при вирішенні завдань, то такий підхід обумовлюється необхідністю встановлення зв'язку між геометричною та фізичної трактуванням завдання.
При вивченні другого питання учням було поставлено завдання з'ясувати, який рух називається рівномірним і прямолінійним? Відповідь відбивав суть даного поняття, але формулювання була нечіткою. Тому було дано визначення: «Тіло рухається рівномірно, якщо за будь-які однакові проміжки часу воно проходить однакові проміжки шляху, прямолінійно - якщо траєкторія руху тіла пряма».
Спираючись на це визначення, в результаті спільної роботи зі школярами було з'ясовано, що шлях, пройдений тілом, пропорційно залежить від часу. Значить, якщо в якості незалежної змінної взяти час, то шлях буде лінійною функцією від часу.
Далі був розкритий фізичний зміст коефіцієнтів лінійної функції. Фізичний сенс коефіцієнта при змінної було розглянуто на тому ж зображенні, що і геометричний. Так як розгляд геометричного змісту цього коефіцієнта спиралося на прямокутний трикутник, то на цьому етапі перед учнями постало завдання дати геометричну трактування катетів цього трикутника (для того щоб з'ясувати, що означає їх відношення), якщо графік зображений в координатній площині «час-шлях». Учні досить успішно впоралися з цим завданням, але була необхідність у деяких уточнень. Таким чином, ми з'ясували, що з одного боку коефіцієнт при невідомому в лінійній функції - це швидкість, з іншого - тангенс відповідного кута.
Так як з'ясування цього питання здійснювалося на графіку проходить через початок координат, то учням було розказано, що даний малюнок увазі, що шлях почав відраховуватися одночасно з початком відліку часу і поставили запитання: «Що означає паралельний перенесення даного графіка?». Було дано достатньо повну відповідь, але він копіював структуру побудови пропозиції для розглянутого випадку. Довелося перефразувати дану пропозицію, і учням було дано таку відповідь з опорою на відповідне зображення: «Даний графік припускає, що на момент відліку часу рухомий об'єкт вже пройшов якийсь шлях». Далі з опорою на геометричну трактування було встановлено, що цей пройдений шлях відповідає вільному коефіцієнту аналітичного завдання лінійної функції.
Таким чином було встановлено зв'язок між рівномірним рухом та лінійної функцією і розкрито зв'язок між геометричною та фізичної трактуванням лінійної функції.
У результаті учні знали, що всякому рівномірному прямолінійному руху відповідає лінійна функція. Крім того, було встановлено протилежне, що всяка лінійна функція може бути інтерпретована як рівномірний рух, причому швидкість цього руху дорівнює тангенсу кута нахилу графіка до позитивного напрямку осі абсцис або коефіцієнту в аналітичному завданні функції, а вільний член дорівнює пройденому на момент початку відліку шляху.
З усього сказаного вище безпосередньо слідували методи завдання лінійної функції по словесному опису руху. Було розказано, що якщо немає додаткових умов, то ми припускаємо, що шлях відлічується одночасно з відліком часу, тобто графік руху проходить через початок координат. Значить, якщо нам дана точка координатної площини, де одне значення - час, а інше - шлях, то для того, щоб побудувати графік досить через ці точки провести пряму, аналітичне завдання якої спирається на геометричні міркування, викладені вище. Якщо ми маємо швидкість руху, то графік - пряма з відповідним тангенсом кута нахилу, що проходить через початок координат. Якщо в умові обговорено додатково, що на момент відліку часу тіло пройшло якийсь шлях, то в попередніх методах змінюється тільки те, що графік проходить через початок координат. При розгляді цього питання закладається уміння вибирати точку відліку. Крім того, було сформульовано правило вибору позитивного напрямку шляху: «якщо в умові є два об'єкти рухаються назустріч один одному, і ми вибрали рух одного в позитивному напрямку, тобто функція його шляху є зростаючою, то інший рухається в негативному напрямку, значить , і швидкість його має негативне значення, звідки випливає, що кут нахилу графіка буде більше прямого (встановлено при розгляді тангенса).
Далі всі ці правила розглянуті на конкретних прикладах і учнями самостійно вирішені завдання з побудови графіків.
Завдання містили конкретні числові значення, що задають лінійні функції. Варіювалися тільки умови, яким відповідали зміни графіків, відпрацьовувалось вміння вибирати позитивне і негативне напрямок руху.
Учні впоралися з усіма завданнями, вони здалися їм легкими. Але основною метою уроку було показати, що всяке рівномірний прямолінійний рух має свою графічну модель, геометрія якій описує всі величини, і навчити будувати цю модель для конкретних даних. Мета була досягнута.
Другий урок припускав виконання роботи з побудови схематизованих моделей, тобто таких моделей, побудова яких не спирається на конкретні числові дані, але відображає умови завдання. Так само на цьому уроці були розібрані рішення завдань першого типу, причому графічні моделі цих завдань були побудовані на першому етапі уроку.
Перейти до схематизовані моделями після побудови моделей для конкретних випадків виявилося досить просто, так як на них учні навчилися відображати основні моменти, а саме зустрічний рух двох об'єктів, зрозуміли, як відображається на графіку умова того, що один об'єкт рухався швидше за інше. Тільки у деяких учнів викликало утруднення побудувати графік одного об'єкта, що рухається на зустріч іншому. Це утруднення пов'язано з тим, що для конкретних числових даних, точка на координатній площині, з якої починав рух цей об'єкт, була визначена, а в даному випадку її треба було зображати умовно. Але ці труднощі були подолані і всі учні володіли методами побудови графічних моделей задач. Далі була проведена робота з інтерпретації моделей, учні знаходили геометричні образи даних завдання, невідомих, відповідали на різні питання про умови завдання, відповіді на які можна отримати, спираючись на графічні моделі.
Дана робота так само не викликала в учнів суттєвих ускладнень, і тому ми перейшли до вирішення завдань.
Першою розібраної завданням було завдання 6, наведена у другому параграфі глави 2. Учні попередньо на попередньому етапі уроку, будували її модель, але модель вони будували за умовою, питання завдання, до того моменту, не було сформульовано. Після того як було поставлено питання, деякі учні висловили припущення, що даних завдання недостатньо. Але геометрична модель вказувала на протилежне, так як величини даних однозначно визначали розміри відрізка, довжину якого потрібно знайти. На це було вказано і поставлено питання, як знайти довжину цього відрізка. Питання викликало утруднення, але після того як було запропоновано розглянути подібність трикутників, метод рішення був знайдений за досить короткий період. Дане утруднення пов'язано з тим, що звернення до геометрії в подібних випадках є новим, навіть несподіваним кроком. В учнів даний метод викликав інтерес, так як рішення отримано достатньо просто, хоча на початку висловлювалися припущення про те, що завдання нерозв'язна. З іншого боку у них залишалися сумніви у правильності результату у зв'язку з тим, що якщо не звертатися до графічної моделі, то умови завдання видаються недостатніми. Тому було розглянуто рішення, не що спирається на графічну модель, для того, щоб підтвердити результат і оцінити переваги даного способу.
Після того як було розглянуто другий метод рішення, були сформульовані основні етапи рішення задачі із застосуванням графічних моделей. До них відносяться: 1) побудувати графічну модель за умовою задачі, 2) знайти геометричний образ даних величин і записати їх на малюнку, 3) знайти геометричний образ невідомого і перейти до відповідної геометричної задачі 4) від геометричної завдання перейти до математичної моделі, 5) вирішити отримане рівняння отримати відповідь, 6) перевірити результат, записати відповідь.
Після цього на даному уроці було вирішено ще два завдання. Учні швидко впоралися з вирішенням цих завдань.
Як показали відповіді біля дошки, рішення було повним, описаний кожен етап рішення, усвідомлено використовувалися результати кожного етапу розв'язання, всі висновки по ходу рішення були обгрунтованими. На цьому уроці учні успішно оволоділи методами вирішення завдань першого типу. Це можна пояснити наступними причинами: так як клас математичний, то він є досить сильним, і з геометричними завданнями, які вони отримували на третьому етапі вирішення, вони успішно справлялися; сам метод викликав у них інтерес, це було видно по динаміці їх роботи; етапи рішення застосовувалися усвідомлено, так як кожен етап природно слідує за попереднім, всі дані представлені в наочному вигляді, що спрощує аналіз задачі.
Метою третього уроку було закріплення умінь і навичок у вирішенні завдань першого типу та навчання вирішувати завдань другого типу.
Першій частині цієї мети відповідало рішення системи завдань першого типу. Як і на попередньому уроці рішення завдань не викликало істотних труднощів, тільки у деяких учнів виникали труднощі в рішень відповідних геометричних задач, але вони були подолані.
Далі було розказано, що існують завдання, вирішення яких недоцільно шукати, застосовуючи геометричні міркування, так як підсумкову при цьому геометричну задачу вирішити не легше, ніж вирішити всю задачу за допомогою міркувань, що оперують термінами руху. Тим не менш, графічна модель є істотною підмогою в справі вирішення такого завдання. Все це було представлено під час вирішення конкретного завдання другого типу.
Першою з таких завдань було завдання 7 другого параграфа глави другий. Було розказано, що довжину шуканого відрізка хоча і можна знайти, застосовуючи геометричні міркування, але сама по собі геометрична задача буде складною, доведеться застосувати метод координат. Тим не менш, спираючись на графічну модель, ми можемо отримати деякі факти, за допомогою яких перейти до математичної моделі.
Рішення задачі проводилося на дошці спільно з класом. Було запропоновано весь шлях позначити за одиницю. Далі були поставлені навідні запитання, наприклад: «Що можна сказати про спільне шлях, пройдений велосипедистом і пішоходом, на момент першої зустрічі?». Відповіді на ці питання дозволили сформулювати твердження, наступні з умови, у вигляді, зручному для складання системи рівнянь. Отримання тверджень спиралося на графічну модель, в якій їх справедливість була представлена наочно. Було розказано, що етапи рішення завдання цього типу ті ж, але на відміну від завдань першого типу ми не вирішуємо геометричну задачу, а приходимо до математичної моделі, спираючись на графічну модель.
Далі слід було самостійне рішення завдань. Потрібно відзначити, що, на відміну від завдань першого типу, дані завдання викликали труднощі в рішенні. Це пов'язано з тим, що графічна модель тут відіграє допоміжну роль, вона не приводить безпосередньо до математичної моделі, а тільки допомагає знайти шлях до її побудови, щоразу міркування містять нові відмінні риси. Але даний підхід спрощує пошук розв'язання задачі, тому що вся інформація представлена наочно і допомагає проводити аналіз задачі, переходити до математичної моделі. Крім того, використання графічної моделі допомагає усвідомлено шукати шлях розв'язання, тому що наочно розкриває зв'язки між даними і невідомими завдання, що безпосередньо призводить до математичної моделі.
Незважаючи на труднощі, які виникли, завдяки деякій допомоги учням, завдання, які були заплановані на цей урок, були вирішені. Були задані додому досить складні завдання даного типу для того, щоб набуті вміння були закріплені і відпрацьований. До наступного уроку не всі учні вирішили весь набір завдань, даних додому, всі рішення були розглянуті на дошці, причому їх розповідали учні їх вирішили, рішення були повними, хід міркувань ясний і грунтовний.
Четвертий урок припускав вирішення завдань, причому заздалегідь не розглядалося, який тип має конкретне завдання. Учням потрібно було самим зрозуміти, який метод застосуємо до даної задачі. Це було зроблено для того, щоб учні самі навчилися розрізняти завдання за типами.
Як і на попередніх заняттях, учні успішніше справлялися із завданнями першого типу. Але у деяких виникали труднощі і при вирішенні цих завдань, пов'язані з тим, що вони не могли зрозуміти якого типу задачі, і, отже, не знали яким чином діяти. Після ради розглянути деякі фігури або ставлення учні знаходили метод розв'язання задачі. Багато учнів самі визначали, який тип має завдання, а декому достатньо було навідних запитань. В основній своїй масі все учні впоралися з завданнями, кожне рішення було розглянуто на дошці, причому рішення були розказані учнями. Кожен крок рішення був аргументований, аргументація була досить грамотною обгрунтованою і у всіх випадках посилалася на графічну модель.
Додому були задані завдання обох типів.
Метою п'ятого уроку було проведення самостійної роботи, для оцінки вміння розв'язувати задачі на рівномірний прямолінійний рух. Перш ніж перейти до самостійної роботи, були розібрані вирішення завдань, заданих додому. Були розглянуті основні моменти, обумовлені етапи вирішення завдань з використанням графічних моделей, вимоги до обгрунтувань одержуваних фактів. Після чого всі учні отримали самостійну роботу. Вона складалася з двох варіантів і містила три завдання, дві з яких були першого типу.
Як показали результати самостійної роботи, всі учні впоралися з завданнями першого типу, до завдань другого типу не впоралися п'ять учнів, причому троє в результаті помилки отримали невірну відповідь. Це досить високий результат, якщо врахувати, що завдання подібного роду є складними і погано вирішуються школярами випускних класів. Цей результат говорить про те, що даний метод візуалізації сприяє формуванню вмінь розв'язувати задачі. Крім того, ці вміння є усвідомленими. Під усвідомленістю рішення задачі розуміється систематичність і послідовність у пошуках шляху розв'язання задачі, логічність і обгрунтованість міркувань, розуміння ролі і значення кожного етапу розв'язання. Як показує аналіз самостійних робіт, виконаних учнями, усі отримані в процесі вирішення рівняння обгрунтовані, причому в основному завдяки графічної моделі. Обгрунтування досить грамотно викладено, присутня послідовність у міркуваннях, етапи вирішення слідують один за одним відповідно до принципом вирішення завдань даним методом.
Застосування даного методу розв'язання задач збільшує різноманітність форм розумової діяльності. На початку маємо текстову задачу на рух, потім у результаті побудови графічної моделі отримуємо геометричну інтерпретацію задачі, причому потрібно визначити можливість вирішення завдання тільки за допомогою геометрії, в залежності від цього перейти до математичної моделі, перевірити результат. Таким чином, збільшується кількість операцій спрямованих на вирішення завдання, що й спричиняє за собою збільшення різноманітності форм розумової діяльності.
Як показує навчальна робота школярів, їх реакція на способи вирішення завдань, даний метод є хорошим засобом розвитку і підвищення інтересу до математики. Формулювання завдань не підводить до методу розв'язання задачі, багатьом учням здається дуже складним перехід до математичної моделі. Але графічна модель спрощує даний перехід. Якщо при цьому вдається перейти до математичної моделі тільки за допомогою геометрії, то вміння вирішувати геометричні завдання переходить в уміння розв'язувати текстові, а це істотно спрощує завдання. Невідповідність між передбачуваної складністю і складністю вирішення, несподіванка підходу при вирішенні викликає інтерес учнів, бажання діяти самостійно. Якщо завдання не передбачає геометричного рішення, то інтерес в даному випадку може бути викликаний самим ходом міркувань, так як він стає наочним і зрозумілим. Причому зрозумілими стають не тільки самі по собі етапи міркування, а загальний спосіб дії в таких ситуаціях.

Висновок
Застосування методів візуалізації в процесі навчання школярів математики сприяє розвитку вміння розв'язувати математичні задачі. У результаті чого підвищується ефективність навчання математики. Сприяє також більш якісному та повному засвоєнню знань на підставі усвідомленості застосовуваних методів, сприяє розвитку і підтримці інтересу до предмета.
Використання методів візуалізації розвиває образне мислення учнів, сприяє розвитку абстрактного мислення, сприяє також розвитку різних форм розумової діяльності.
У даній роботі розглянута загальна методика навчання розв'язання математичних задач з використанням методів візуалізації. Сформульовано правила застосування візуальних моделей та вимоги до них. Розглянуто методи візуалізації деяких математичних задач і методика роботи з ними.
Результати досвідченого викладання проведеного з використанням методів описаних у другому розділі даної роботи з опорою на теоретичні основи, описані в першому розділі, підтверджують положення гіпотези, показують, що дана тема актуальна застосування методів доцільно і сприяє підвищенню ефективності навчання.
Результати даної роботи можуть бути застосовані вчителями у процесі навчання математики, а також вивчено студентами в рамках курсу методики математики.

Бібліографічний список
1. Болтянский, В. Г. Формула наочності - ізоморфізм плюс простота [Текст] / В. Г. Болтянский / / Радянська педагогіка. - 1970. - № 5. - С. 46-60.
2. Далингер, В. А. Геометрія допомагає алгебри [Текст] / В. А. Далингер / / Математика в школі. - 1996. - № 4. - С. 29-34.
3. Демидова, А. Н. Теорія і практика вирішення текстових задач [Текст] / А. М. Демидова, І. К. Тонких / Просвешеніе 2003 з 214
4. Єпішева, О. Б. Загальна методика викладання математики в середній школі. Курс лекцій [Текст]: навч. посібник для студентів фіз.-мат. спец. пед. ін-тів / О. Б. Єпішева. - Тобольськ: Вид. ТГПІ ім. Д. І. Менделєєва, 1997. - 191 с.
5. Імранов, Б. Ніколи не забувайте про наочності [Текст] / Б. Імранов / / Математика в школі. - 2001. - № 2. - С. 49-51.
6. Канін, Є. С. Вивчення почав математичного аналізу в середній школі [Текст] / Є. С. Канін. - К.: Вид-во ВятГГУ, 2006. - 170 с.
7. Канін, Є. С. Навчальні математичні задачі [Текст] / Є. С. Канін. - К.: Вид-во ВятГГУ, 2003. - 154 с.
8. Карпова, Т. М. Наочне навчання математики - поєднання науковості та доступності: психологія, інтуїція, досвід [Текст] / Т. М. Карпова, Е. І. Смирнов / / Неперервна педагогічна освіта. Вип. VIII. РГПУ; УМО ОППО; ЯГПУ. - Ярославль: ЯГПУ, 1995. - С. 48-54.
9. Луніна, Л. С. Навчання вирішення геометричних завдань алгебраїчним методом [Текст] / Л. С. Луніна / / Математика в школі. - 1996. - № 4. - С. 34-39.
10. Методика викладання математики в середній школі. Загальна методика [Текст]: навч. посібник для студентів фіз.-мат. фак. пед. інститутів / Cост. Ю. М. Колягін, В. А. Оганесян, В. Я. Саннінскій, Г. Л. Луканкін. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.
11. Методика викладання математики в середній школі. Загальна методика [Текст]: навч. посібник для студентів пед. ін-тів / А. Я. Блох, Є. С. Канін. [И др.]; сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.
12. Методика викладання математики в середній школі. Приватна методика [Текст]: навч. посібник для студентів пед. ін-тів по фіз.-мат. спец. / А. Я. Блох, В. А. Гусєв, Г. В. Дорофєєв [и др.]; сост. В. І. Мішин. - М.: Просвещение, 1995 з 248
13. Островський, А. І. Геометрія допомагає арифметиці [Текст] / А. І. Островський, Б. А. Кордемский. - М.: Століття, 1994. - 176 с.
14. Педагогіка [Текст]: навч. посібник для студентів пед. вузів і пед. коледжів / За ред. П. І. Підкасистого. - М.: Пед. т-во Росії, 2003. - 608 с.
15. Петрова, Е. С. Теорія і методика навчання математики [Текст]: учеб.-метод. посібник для студ. мат. спец. У 3 ч. Ч. 1. Загальна методика / Є. С. Петрова. - К.: Вид-во Сарат. ун-ту, 2004. - 84 с.
16. Підгірна І.І. Уроки математики для вступників / вид-во московський ліцей - Москва 2006 - 692 с.
17. Підготовка вчителя математики: інноваційні підходи [Текст]: навч. посібник / За ред. В. Д. Шадрикова. - М.: Гардаріки, 2002. - 383 с.
18. Рєзнік, М. А. Розвиток візуального мислення на уроках математики [Текст] / Н. А. Рєзнік, М. І. Башмаков / / Математика в школі. - 1991. - № 1 - С. 4-9.
19. Рубінштейн, С. Л. Основи загальної психології [Текст] / С. Л. Рубінштейн. СПб.: Пітер, 2002. - 720 с.
20. Рудник, А. В. Переформулювання тексту завдання як шлях відшукання її рішення. З досвіду викладання математики в школі [Текст]: посібник для вчителів / А. В. Рудник. - М.: Просвещение, 1978. - С.123
21. Саранцев, Г. І. Естетична мотивація у навчанні математиці [Текст] / Г. І. Саранцев. - Саранськ: ПО РАВ, мордою. пед. ін-т, 2003. - 136 с.
22. Столяр, А. А. Педагогіка математики [Текст]: курс лекцій / А. А. Столяр. - Мн.: Вишейшая школа, 1969. - 368 с.
23. Трефілов, І. П. Як зацікавити математикою учнів середньої школи [Текст] / І. П. Трефілов. - М.: Учпедгиз, 1957. - С.45
24. Фрідман, Л. М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі. Вчителю математики про пед. психології [Текст] / Л. М. Фрідман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.